Kuaternion - Wikipedia Bahasa Melayu, ensiklopedia bebas

Dalam bidang matematik, kuaternion adalah sistem nombor yang memanjangkan sistem nombor kompleks. Kuaternion ditulis dalam bentuk:

$a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$

dimana pekali a, b, c dan d ialah nombor nyata dan i, j dan k ialah unit khayalan. Ia diperhatikan bahawa unit i, j dan k selalunya ditaip dengan font math bold font. Set yang mewakili kuaternion dilambangkan dengan $\mathbb {H}$ atau $\mathbf {H}$ ^[1]. Kegunaan huruf H untuk mewakili set kuaternion datang dari penciptanya, ahli matematik Irish William Rowan Hamilton.^[2]

Kuaternion memperolehi aplikasi yang luas. Berkisaran dari pemprosesan isyarat, teori nombor, mekanik kuantum, sains komputer, robotik dan analisis struktur dalam pelbagai bidang.^[3]

Definisi

Unit khayalan i, j dan k ditakrifkan dalam satu persamaan:

$\mathbf {i} ^{2}=\mathbf {j} ^{2}=\mathbf {k} ^{2}=\mathbf {ijk} =-1$

Beberapa hukum boleh diperolehi dari persamaan tersebut:

$\mathbf {ij} =-\mathbf {ij} =\mathbf {k}$
$\mathbf {jk} =-\mathbf {kj} =\mathbf {i}$
$\mathbf {ki} =-\mathbf {ik} =\mathbf {j}$

Pendaraban unit khayalan kuaternion tidak berhukum kalis tukar tertib, iaitu $ab\neq ba$ . Tetapi, ia penting untuk nota bahawa kuaternion masih memperolehi hukum kalis sekutuan. Suatu kuaternion ialah gabungan pekali nombor nyata dan unit khayalan dalam bentuk:

$q=a+b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$

dimana $a$ , $b$ , $c$ dan $d$ adalah pekali nombor nyata dan i, j dan k ialah unit khayalan. Unit khayalan kuaternion juga boleh dianggap sebagai unit vektor. Secara komponenan, pekali $a$ digelar sebagai bahagian skalar (atau bahagian nyata) dan $b\mathbf {i} +c\mathbf {j} +d\mathbf {k}$ sebagai bahagian vektor kuaternion. Kuaternion dimana bahagian nyatanya sama dengan kuaternion tersebut digelar sebagai kuaternion nyata.

$q=a+0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +0\mathbf {k} =a$

Kuaternion dimana setiap komponennya ialah 0 digelar sebagai kuaternion sifar.

$q=0+0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +0\mathbf {k} =0$

Hasil darab Hamilton

Hasil darab antara dua kuaternion $q_{1}$ dan $q_{2}$ dipanggil sebagai hasil darab Hamilton. Untuk melaksanakan pendaraban tersebut, hukum yang ditunjukkan serta hukum kalis agihan digunakan. Andaikan $q_{1}=a_{1}+b_{1}\mathbf {i} +c_{1}\mathbf {j} +d_{1}\mathbf {k}$ dan $q_{2}=a_{2}+b_{2}\mathbf {i} +c_{2}\mathbf {j} +d_{2}\mathbf {k}$ .,

${\begin{alignedat}{4}q_{1}\times q_{2}=\,&a_{1}a_{2}&&+a_{1}b_{2}\mathbf {i} &&+a_{1}c_{2}\mathbf {j} &&+a_{1}d_{2}\mathbf {k} \\{}+{}&b_{1}a_{2}\mathbf {i} &&+b_{1}b_{2}\mathbf {i} ^{2}&&+b_{1}c_{2}\mathbf {ij} &&+b_{1}d_{2}\mathbf {ik} \\{}+{}&c_{1}a_{2}\mathbf {j} &&+c_{1}b_{2}\mathbf {ji} &&+c_{1}c_{2}\mathbf {j} ^{2}&&+c_{1}d_{2}\mathbf {jk} \\{}+{}&d_{1}a_{2}\mathbf {k} &&+d_{1}b_{2}\mathbf {ki} &&+d_{1}c_{2}\mathbf {kj} &&+d_{1}d_{2}\mathbf {k} ^{2}\end{alignedat}}$

Gunakan hukum-hukum unit khayalan untuk mendarabkan unit khayalan tersebut dan faktorkan unit khayalan keluar kurungan untuk mendapat:

${\begin{alignedat}{4}q_{1}q_{2}=\,&a_{1}a_{2}&&-b_{1}b_{2}&&-c_{1}c_{2}&&-d_{1}d_{2}\\{}+{}(&a_{1}b_{2}&&+b_{1}a_{2}&&+c_{1}d_{2}&&-d_{1}c_{2})\mathbf {i} \\{}+{}(&a_{1}c_{2}&&-b_{1}d_{2}&&+c_{1}a_{2}&&+d_{1}b_{2})\mathbf {j} \\{}+{}(&a_{1}d_{2}&&+b_{1}c_{2}&&-c_{1}b_{2}&&+d_{1}a_{2})\mathbf {k} \end{alignedat}}$

Rujukan

^ Weisstein, Eric W. "Quaternion". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2025-07-01.
^ Hamilton, W.R (1844). Philos.
^ Hong-Yang, Lin,; Marc, Cahay,; N., Vellambi, Badri; Dennis, Morris, (2022-03). "A Generalization of Quaternions and Their Applications". Symmetry (dalam bahasa Inggeris). 14 (3). doi:10.3390/ Check |doi= value (bantuan). ISSN 2073-8994. Check date values in: |date= (bantuan)CS1 maint: extra punctuation (link)

[1] Weisstein, Eric W. "Quaternion". mathworld.wolfram.com (dalam bahasa Inggeris). Dicapai pada 2025-07-01.

[2] Hamilton, W.R (1844). Philos.

[3] Hong-Yang, Lin,; Marc, Cahay,; N., Vellambi, Badri; Dennis, Morris, (2022-03). "A Generalization of Quaternions and Their Applications". Symmetry (dalam bahasa Inggeris). 14 (3). doi:10.3390/ Check |doi= value (bantuan). ISSN 2073-8994. Check date values in: |date= (bantuan)CS1 maint: extra punctuation (link)

[1]

[2]

[3]